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ふと思った。
古典力学ではラグランジアンの作用積分
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が極値をとるとき、つまり
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のとき運動が実現するという原理があったけど。これをとくと、オイラーラグランジュ方程式が得られる。量子力学でも変文原理ってやつがあって、任意の状態に対して
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が成立するってやつです。E_0はゼロ点エネルギーです。これを初めて聞いた時、当たり前じゃん。こんなんで、何が分かるの?としか思わなかったけど・・・
書き直すと
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条件のもとで
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みたせばよいとなる。これをラグランジュの未定乗数をつかって計算するとプサイの条件として
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が得られる。Eは未定乗数です。まぁ結局ハミルトニアンの固有値方程式になるのですが。

変文原理を原理として、考えると解析力学だけじゃなくって、他の基本方程式が導かれる。なんか嬉しいけど。正直よくわからない・・・書いてて普通に分からんとこあったし・・・
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エントロピーと分配関数は統計演算子とハミルトニアン演算子を用いると以下のようにかける。
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統計演算子は
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とかかれ、量子力学でいうところの密度行列のことです。p_kは状態ファイkを得る確率です(ギリシャ文字の打ち方が不明で・・・)。統計力学ではこの定義のまま使うことはないような気がするので、上の表記も意味がないと言われれば、ないような気がするんですけど、まぁかっこいいからいいかなーと。
エントロピーや分配関数を演算子で表すあたりが、量子力学と統計をちゃんとつなげて考えられてるっぽくみえるじゃんー
ついでに言うと
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が成り立ちます。
まぁ示すこと自体は密度行列を時間微分して、シュレディンガー方程式を代入すればすぐ終わるんですが。
この結果はハイゼンベルグの方程式と微妙に違うんで気をつけないとね・・・
ただ、密度行列がハミルトニアンと交換すれば、密度行列の時間変化はない。・・・・
密度行列を統計演算子、さらには分布関数と読み替えれば、量子力学バージョンのリーヴィユ定理ってことがわかりますー。古典的には運動の積分を使って分布関数がかけることが分かるような気がしますが・・・統計ではこれがなんとか分布とかになるんでしょー
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